UNIVERCIDAD AUTONOMA DE GUERRERO
UNIDAD ACADEMICA DE MATEMATIACAS.
PROFESOR:
DR.EDUARDO CANTORAL.
ALUMNO:
CHRISTOPHER TEODORO HERNADEZ ROMAN.
COMUNICACIÓN DE LAS IDEAS....











INTRODUCCION

La lógica es algo fundamental para el desarrollo de la vida matemática, a lo largo de la historia se han ido introduciendo nuevas ideas conceptos en los cuales se han podido desarrollar diferentes trabajos muy profundos acerca de lógica de predicados o también llamada como de primer orden;
En este contenido trataremos de que el concepto de
“lógica de predicados”
Quede lo más comprendido.









Definición
La lógica de predicados (Gottob Frege, 1879) o también conocida como de primer orden, no es más que algo más complejo en relación con lógica de preposiciones pero en la cual se han implementado cosas nuevas; La lógica de predicados es un lenguaje formal donde las sentencias bien formadas son producidas por las reglas. Estas reglas son las que deben llevar el símbolo de igualdad; las conectivas, el cuantificador universal y el paréntesis,
Un conjunto contable de símbolos de variable.
Un conjunto de símbolos de constante.
Un conjunto de símbolos de función.
Un conjunto de símbolos de relación.


LENGUAJE DE LOGICA DE PREDICADOS Y SU ESTUDIO. SIMBOLOGIA.

Estudia diferentes frases declarativas con más alto grado de dificultad, siempre y cuando cumplan con las diferentes reglas del predicado. Para mayor aclaración se tomaran elementos básicos de los objetos y las relaciones posibles de dichos objetos; en otras palabras:
Que se afirma (predicado o relación).
De quien se afirma (objeto).



Definición primera
(CONS)
Algo fundamental para el entendimiento de la lógica sin duda son los símbolos; Las constantes se escriben con las letras: a, b, c… (Primeras letras del abecedario), y representan objetos propios. Los siguientes son las constantes las cuales son las personas o elementos distinguidos en el medio que nos rodea (U), que es conjunto de cosas en las cuales queremos razonar.
(VAR)
Los símbolos de las variables se escriben x, y, z… (Ultimas letras del abecedario), las cuales representan objetos, cuyo dominio hay que especificar.
Los símbolos de predicado se escriben (P, Q, R…).
También podemos encontrar los cuantificadores: Él para todo (¥) que es un cuantificador universal
Existe un () cuantificador existencial. Los cuantificadores
Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo.
Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo.
(FUNC)
Se encuentran las funciones las cuales se representan con las siguientes letras: f, g, h, l… estas pueden llevar subíndice para distinguirse; En algunos casos se indicia la aridad mediante un superíndice un ejemplo muy sencillo f!,. (Esta sería una función de factorial argumentos) la aridad de un predicado se define como el numero de argumentos que contiene.
(PRED)
Los predicados se representan con las letras mayúsculas, P, Q, R, K; e igual que las funciones se pueden interpretar con aridad un ejemplo P! (seria un predicado de factorial argumentos)
Los símbolos de conectividad serán:
¬ =NEGACION
^= CONECTIVA “y”
v=CONECTIVA “o”
=IMPLICACION
=DOBLE IMPLICACION
¿Qué es un término?
Un término es una cadena simbólica utilizada para representar objetos siguiendo reglas.
Hay que tomar en cuenta que toda variable o constante individual es un término.
¿Qué es un átomo de lógica?
Un término representa a un objeto, mientras que un átomo tomara un valor verdadero o falso del argumento.
Todo átomo es una formula bien formada (formula atómica)

LOS TRES METODOS.
En lógica de predicados, existen tres métodos básicos de razonamiento:
DEDUCTIVO, ABDUCTIVO E INDUCTIVO.

DEFINICION:
Deducción es el razonamiento a partir de un principio conocido hacia un desconocido; de lo general, a lo específico, o de la premisa a la conclusión lógica. La deducción realiza inferencias lógicamente correctas. Esto significa que la deducción a partir de premisas verdaderas, garantiza el resultado de conclusiones también verdaderas.

DEDUCTIVO
La deducción es el método más ampliamente comprendido, aceptado y reconocido de los tres indicados. Es la base tanto de la lógica proposicional, como de la lógica de predicados. A manera de ejemplo, el método deductivo, se puede expresar, utilizando lógica de predicados, como sigue:

" A, " B, " C, [mayor (A, B) Ù mayor (B, C) ® mayor (A, C)]

ABDUCTIVO

Es un método de razonamiento comúnmente utilizado para generar explicaciones. A diferencia de la inducción, la abducción no garantiza que se puedan lograr conclusiones verdaderas, por lo tanto no es un método sólido de inferencia. La forma que tiene la abducción es:

Si la sentencia (A ® B) es verdadera y B es verdadera,

entonces A es posiblemente verdadera.

En abducción, se empieza por una conclusión y se procede a derivar las condiciones que podrían hacer a esta conclusión válida. En otras palabras, se trata de encontrar una explicación para la conclusión.

INDUCTIVO
Se define como el razonamiento a partir de hechos particulares o casos individuales, para llegar a una conclusión general. El método inductivo es la base de la investigación científica. La forma más común del método inductivo es la siguiente:

Si se conoce que P(a), P (b),......, P(n) son verdaderos,

entonces se puede concluir que " X, P(X) es también verdadero.

La inducción es una forma de inferencia muy importante ya que el aprendizaje, la adquisición de conocimiento y el descubrimiento están basados en ella. Al igual que la abducción, la inducción no es un método sólido de inferencia.
Nota: El razonamiento deductivo es una forma monotónico de razonar que produce argumentos que preservan la verdad. En un sistema monotónico todos los axiomas utilizados se conocen como verdaderos por sus propios méritos, o pueden ser derivados de otros hechos conocidos como verdaderos. Los axiomas no pueden cambiar, ya que una vez que se los conoce como verdaderos, siempre permanecen así y no pueden ser modificados o retractados. Esto significa que en el razonamiento monotónico el conjunto de axiomas continuamente crece en tamaño.

Otro aspecto del razonamiento monotónico es que si más de una inferencia lógica puede ser hecha a un tiempo específico y una de ellas se realiza, las inferencias que quedan serán todavía aplicables después que dicha inferencia haya sido hecha.

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es la sentencia que es verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es falsa.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

La lógica de predicados está basada en la idea de las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.


SINTAXIS
La sintaxis estudia los signos mismos con independencia de su significado (en el caso, la construcción de la frase dentro de las reglas del idioma).

La sintaxis hace referencia a aquellas reglas que determinan cuáles son las combinaciones correctas de signos.

Ejemplos:

p, q, r, s, t, ... son fórmulas bien formadas del cálculo proposicional.
Si A es una fórmula bien formada del cálculo, entonces ¬A es también una fórmula bien formada del cálculo.
Si A y B son fórmulas bien formadas del cálculo, entonces A ^ B, A v B, A → B y A ↔ B son también fórmulas bien formadas del cálculo.
La semántica hace referencia fundamentalmente a la manera en que asignan valores de verdad a las expresiones del cálculo. Diremos que el cálculo proposicional es derivativo-funcional en el sentido de que el valor de verdad de sus fórmulas depende (o es función de) los valores de verdad asignados a sus variables. Las conectivas son las que desempeñan el papel de funciones de verdad.

Además de la sintaxis y la semántica, se deben añadir las reglas de inferencia (las reglas de transformación del cálculo) que son las que permiten realizar deducciones.


Sintaxis

El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso.
Símbolos de variables: p, q, r, s…
Símbolos de conectivas:
Ø NO Negación
Ù Y Conjunción
Ú O Disyunción inclusiva
Å O...O Disyunción exclusiva
® SI...ENTONCES Condicional
« SI Y SOLO SI Incondicional

Símbolos de puntuación: (,), para evitar ambigüedades.

Reglas de formación

Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:

Una variable proposicional es una sentencia bien formada.
Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituyen una sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.
El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos más evidentes usando corchetes y llaves.
A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

Conectivas

Las conectivas se dividen por su aplicación en:

Singulares: se aplican a una única sentencia.
Binarias: se aplican a dos sentencias.

Por su definición, también se pueden dividir en:

Primitivas: las variables proposicionales, los paréntesis y las conectivas NO y O.
Definidas: las conectivas Y, SI... ENTONCES,... SI Y SOLO SI... y O... O.

LOGICA DE DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN
(José Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lavín, E.U.I.T.I.O.).

En lógica de predicados de primer orden "se permite la cuantificación de variables" (José Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lavín, E.U.I.T.I.O.). Así de esta manera, se formaliza el razonamiento:
En la lógica de predicados de primer orden
(∀x (Informático(x) →Listo(x)) ∧ Informático (Pedro)) → Listo (Pedro)
La lógica de predicados de primer orden es la más básica, es una extensión de lógica de predicados de orden cero, sólo que admite los cuantificadores (∀ y ∃), y reglas de deducción natural.
Las variables en lógica de primer orden pertenecen a un dominio, tienen una asignación. Pueden existir constantes y las fórmulas en esta lógica se pueden unificar de formas nuevas que antes no teníamos o podíamos.
La LP1 es suficiente para formalizar la teoría de conjuntos, el problema es que, a diferencia de LP0, la lógica de primer orden no es predecible. No existe un procedimiento de decisión que nos permita decidir si para una fórmula, esta es válida o no. Church y Turíng lo demostraron de forma independiente.

DEMOSTRACION:
Teoría de la demostración en lógica de predicados entenderemos la extensión del sistema de deducción natural
a la lógica de primer orden.
Recordamos que la teoría de la demostración nos proporciona métodos
alternativos a los métodos semánticos para averiguar
la validez de una fórmula: si es una fórmula válida se dice que
es demostrable y se escribe:
si una fórmula es consecuencia lógica de un conjunto de
premisas ©: si ' es consecuencia lógica de © se dice que ' es
deducible en el sistema a partir de © y se escribe © ` ':
Las definiciones generales de sistema formal axiomático, teorema, deducción, métodos directos y por refutación son las mismas estudiadas.
Dada una demostración de una deducción, es siempre posible
encontrar una fórmula válida que la represente.
Ya comentamos que en la lógica de primer orden no existe ningún método de demostración que sea decididle. Por tanto, la extensión de la teoría de los
tableaux sintácticos a la lógica de primer orden no puede proporcionar un
método eficaz y nito para establecer la satisfacibilidad de una fórmula.
Definición del sistema de deducción natural
de Gentzen
La extensión del sistema de deducción natural de la lógica proposicional a
la lógica de predicados mantiene su carácter intuitivo, ya que se basa en
deducciones. Las ocho reglas de inferencia de la definición de este sistema
del capítulo 5 siguen valiendo y tienen ahora que ser completadas por reglas
de inferencia para los cuantificadores.
Reglas del sistema de deducción natural para los cuantificadores:
(I 8): Regla de introducción del cuantificador universal
'(y) ` 8x'(x):
NOTA: la forma de interpretar esta regla NO es que de la validez de
'(y) para un elemento del dominio y se deduce la validez de '(x)
para todo elemento x:
Lo que se entiende con la notación empleada es que en '(y) la variable
y representa un cualquier elemento del dominio, no un elemento
especificado.
Con la notación de Fitting (I 8) se representa como:
y......
` '(y)
` 8x'(x)

EJEMPLOS DE LOGICA DE PREDICADOS
Christopher baila; en la cual Christopher es el argumento, y baila es predicado.

1.- “Todos los humanos saben hablar, también cualquiera que sepa hablar es
Inteligente. Sabemos que cualquiera que sea inteligente es un primate, luego
Podemos concluir que todos los humanos, son primates.”
Solución:
D= {seres} Hu(x): x es humano
Ha(x): x sabe hablar
I(x): x es inteligente
Pr(x): x es un primate
Utilizando supuestos con el Teorema de la Deducción
(1) 8x [Hu(x)! Ha(x)] Premisa
(2) 8x [Ha(x)! I(x)] Premisa
(3) 8x [I(x)! Pr(x)] Premisa
(4) Hu(a) Supuesto (T.D)
(5) Hu(a)! Ha(a) EU 1
(6) Ha(a) MP 4,5
(7) Ha(a)! I(a) EU 2
(8) I(a) MP 6,7
(9) I(a)! Pr(a) EU 3
(10) Pr(a) MP 8,9
(11) Hu(a)!Pr(a) Canc. Supuesto TD 4-10
(12) 8x [Hu(x)! Pr(x)] GU 11.

2.- “Hay especies que requieren ser capaces de parasitar a cualquier especie para
Sobrevivir. Pero una especie que sobrevive y evoluciona, no puede parasitar se
A sí misma. Por lo tanto, si todas las especies evolucionan, alguna especie no sobrevive.”

Solución:
Dominio: {especies}
P (x, y): x puede parasitar a y
S (x): x sobrevive
E (x): x evoluciona
((8xE(x))! 9x (_ S(x))
(1) 9x8y (S(x)! P(x, y)) Premisa 1
(2) 8x (S(x) ^ E(x)! _ P(x, x)) Premisa 2
(3) 8xE(x) Premisa (por el T.D.) 3
(4) 8y (S(a)! P(a, y)) Supuesto E.E. (x=a) 1
(5) S(a)! P(a, a) E.U. 4
(6) S(a) ^ E(a)! _ P(a, a) E.U. 2
(7) E(a) E.U. 3
(8) E(a)!(S(a)! _ P(a, a)) Exportación 6
(9) S(a)! _ P(a, a) M.Ponens 7,8
(10) _ S(a) Absurdo 5,9
(11) 9x (_ S(x)) Gen Existencial 10
(12) 9x (_ S(x)) Canc. Supuesto E.E. 4-11
La deducción es correcta.

3.- “Toda persona tiene siempre a alguien que le defiende frente a las agresiones de otros. Pero a algunos solo los defienden personas pacificas, y las personas
Pacificas no agreden a nadie. Luego existen pares de personas que no se agreden entre sí”.
Solución:

Premisas:
1. 8x (9zAgrede (z, x) ! 9yDefiende(y, x)) (es decir, si hay alguien que le
Agrede, alguien le defiende)
$8x9y8z (Agrede (z, x)! Defiende (y, x))
2. 9x8y (Defiende (y, x)! Pacifico (y))
3. 8x (Pacifico(x)! _ 9yAgrede(x, y))
$8x8y (Pacifico(x)! _ Agrede(x, y))

Conclusión: 9x9y (_ Agrede (y, x))
Nota: Tomamos la conclusión “existen pares de personas que no se agreden
Entre si” como que hay un par (y, x) tal que no se cumple el predicado. Esto es equivalente (por contracción) a 9x9y (_ Agrede (y, x)_ _ Agrede(x, y)) (es decir, no se agreden los dos, al menos uno no agrede al otro).

(1) 8x9y8z (Agrede (z, x)! Defiende (y, x)) Premisa 1
(2) 9x8y (Defiende (y, x)! Pacifico (y)) Premisa 2
(3) 8x8y (Pacifico(x)! _ Agrede(x, y)) Premisa 3
(4) 9y8z (Agrede (z, a)! Defiende (y, a)) E.U. 1
(5) 8z (Agrede (z, x)! Defiende (b, x)) Supuesto E.E. 4
(6) 8y(Defiende(y, a)!Pacifico(y)) Supuesto E.E. 2
(7) Defiende (b, a)! Pacifico (b) E.U. 6
(8) Agrede (b, a)! Defiende (b, a) E.U. 5
(9) Pacifico (b)! _ Agrede (b, a) E.U. (x2) 3
(10) Agrede (b, a) Supuesto (Absurdo)
(11) Defiende (b, a) M. P. 8,10
(12) Pacifico (b) M.P. 7, 11
(13) _ Agrede (b, a) M.P. 9,12
(14) Agrede (b, a) ^ _ Agrede (b, a) Producto 10,13
(15) _ Agrede (b, a) Canc. Sup. Absurdo 10-14
(16) 9y (_ Agrede (y, a)) G.E. 15
(17) 9x9y (_ Agrede (y, x)) G.E. 15
(18) 9x9y (_ Agrede (y, x)) Canc. Sup. E.E. 6-17
(19) 9x9y (_ Agrede (y, x)) Canc. Sup. E.E. 5-18
La deducción es correcta.










CONCLUSIONES
El campo de lógica de predicados es muy extenso por lo tanto resumiremos a un mas las parte esenciales del trabajo de investigación, una parte importante es de que con esta teoría somos capases de poder identificar y demostrar problemas que se nos muestren en la vida de la lógica, con respecto a la lógica de predicados, pero sin embargo hay que considerar que en este contenido nos damos cuenta de que encontraremos conocimiento nuevo que podemos ir adquiriendo e ir interpretando de acuerdo con nuestras ideas y manera de vivir la vida matemática. Cabe mencionar nos sirve para poder reducir texto mediante simbología ya que esto ha ayudado en temas de computación y más.
Para mi conclusión final creo que la lógica es algo que natural, en si la lógica en los seres humanos la adquirimos desde que nacemos, con el paso del tiempo somos capaces de ir desarrollándola, cuando una persona piensa con lógica es capaz de poder resolver cualquier problema que se le presente.